***RePrEsEnTaCiOn gEoMeTrIcA***
Si A es el área buscada se tiene SD <>E
Cuando el número de divisiones del intervalo [a, b] crezca indefinidamente las áreas por defecto, SD, y por exceso, SE, coincidirán y ese valor común será el área encerrada.
Integral definida
Supongamos que f es una función continua y positiva en el intervalo [a, b].
Definición Se llama partición de [a, b] a todo conjunto ordenado de puntos de [a, b], donde el primero es a y el último b. Es decir
P={p0, p1,......,pn} a= p0 1<..... n= b
Llamaremos diámetro de una partición P a la mayor de las diferencias pi-pi-1, i=1,2, ..,n
Sean mi = mín f(x)], Mi = máx f(x), x[pi-1, pi]
Definición. Llamaremos suma inferior de f para la partición P de [a, b] y escribiremos s(f.P), a:
s(f,P)= ,
es decir a la suma de las áreas de los rectángulos que quedan por debajo de la gráfica de f, que es una aproximación del área que encierra f (área por defecto)[1]
Análogamente suma superior, S(f, P)
S(f, P)=
que geométricamente representa la suma de las áreas de los rectángulos de base (pi-pi-1) y altura Mi (área por exceso)
Proposición. Para toda partición de [a, b] se verifica s(f,P) S(f, P).
Demostración
Evidente ya que siempre se verifica mi Mi
Definición. Una partición Q se dice que es más fina que otra P, PQ, si todo punto de P lo es de Q.
Proposición. Si P es más fina que Q
s(f, P) s(f, Q) S(f, Q) S(f, P)
es decir, al aumentar el número de puntos de la partición el área por defecto aumenta y el área por defecto disminuye. (Trivial)
Definición de integral definida
Consideremos una sucesión de particiones P1 P2....Pn.......donde el diámetro () de Pn tiende a cero. Por la proposición anterior se sigue:
s(f, P1) s(f, P2) ..... s(f, Pn),,,,, S(f, Pn) .....S(f, P1)
Estas dos sucesiones al ser monótonas y acotadas son convergentes y tienden a un mismo número real, al que llamamos la integral definida de f en [a, b], se denota:
Geométricamente la integral definida mide el área comprendida entre la curva y= f(x) el eje de las X y las rectas x= a y x= b.
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