***RePrEsEnTaCiOn gEoMeTrIcA***

Si A es el área buscada se tiene S_D <>E

Cuando el número de divisiones del intervalo [a, b] crezca indefinidamente las áreas por defecto, S_D, y por exceso, S_E, coincidirán y ese valor común será el área encerrada.

Integral definida

Supongamos que f es una función continua y positiva en el intervalo [a, b].

Definición Se llama partición de [a, b] a todo conjunto ordenado de puntos de [a, b], donde el primero es a y el último b. Es decir

P={p₀, p₁,......,p_n} a= p₀

₁<.....

_n= b

Llamaremos diámetro de una partición P a la mayor de las diferencias p_i-p_i-1, i=1,2, ..,n

Sean m_i = mín f(x)], M_i = máx f(x), x[p_i-1, p_i]

Definición. Llamaremos suma inferior de f para la partición P de [a, b] y escribiremos s(f.P), a:

s(f,P)= ,

es decir a la suma de las áreas de los rectángulos que quedan por debajo de la gráfica de f, que es una aproximación del área que encierra f (área por defecto)[1]

Análogamente suma superior, S(f, P)

S(f, P)=

que geométricamente representa la suma de las áreas de los rectángulos de base (p_i-p_i-1) y altura M_i (área por exceso)

Proposición. Para toda partición de [a, b] se verifica s(f,P) S(f, P).

Demostración

Evidente ya que siempre se verifica m_i M_i

Definición. Una partición Q se dice que es más fina que otra P, PQ, si todo punto de P lo es de Q.

Proposición. Si P es más fina que Q

s(f, P) s(f, Q) S(f, Q) S(f, P)

es decir, al aumentar el número de puntos de la partición el área por defecto aumenta y el área por defecto disminuye. (Trivial)

Definición de integral definida

Consideremos una sucesión de particiones P₁ P₂....P_n.......donde el diámetro () de P_n tiende a cero. Por la proposición anterior se sigue:

s(f, P₁) s(f, P₂) ..... s(f, P_n),,,,, S(f, P_n) .....S(f, P₁)

Estas dos sucesiones al ser monótonas y acotadas son convergentes y tienden a un mismo número real, al que llamamos la integral definida de f en [a, b], se denota:

Geométricamente la integral definida mide el área comprendida entre la curva y= f(x) el eje de las X y las rectas x= a y x= b.

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